Kostki geometryczne. Co to jest przekątna sześcianu i jak go znaleźć

Albo sześcian) jest figurą trójwymiarową, każda twarz jest kwadratem, na którym, jak wiemy, wszystkie boki są równe. Przekątna sześcianu jest segmentem, który przechodzi przez środek figury i łączy symetryczne wierzchołki. W zwykłym sześcianie są 4 przekątne, a wszystkie będą równe. Bardzo ważne jest, aby nie mylić przekątnej samej figury z przekątną jej twarzy lub kwadratu, która leży u jej podstawy. Przekątna sześcianu przechodzi przez środek powierzchni i łączy przeciwległe wierzchołki kwadratu.

Wzór na znalezienie przekątnej sześcianu

Przekątną zwykłego wielościanu można znaleźć za pomocą bardzo prostej formuły, którą trzeba zapamiętać. D = a√3, gdzie D jest przekątną sześcianu i jest krawędzią. Podajemy przykład problemu, w którym konieczne jest znalezienie przekątnej, jeśli wiadomo, że długość jego krawędzi wynosi 2 cm. Tutaj wszystko jest tylko D = 2√3, nawet nic nie musi być brane pod uwagę. W drugim przykładzie niech krawędź sześcianu wynosi √3 cm, a następnie otrzymamy D = =3√3 = √9 = 3. Odpowiedź: D wynosi 3 cm.

Formuła, za pomocą której można znaleźć przekątną ściany sześcianu

Diago Możesz również znaleźć twarz według wzoru. Przekątne leżące na krawędziach są tylko 12 sztuk i wszystkie są równe. Teraz pamiętamy d = a√2, gdzie d jest przekątną kwadratu, a także krawędzią sześcianu lub boku kwadratu. Zrozumienie, skąd pochodzi ta formuła, jest bardzo proste. Przecież dwie strony kwadratu i ukośna forma W tej trójce przekątna pełni rolę przeciwprostokątnej, a boki kwadratu to nogi o tej samej długości. Przypomnij sobie twierdzenie Pitagorasa i wszystko natychmiast się ułoży. Teraz zadanie: krawędź sześcianu wynosi √ 8 cm, konieczne jest znalezienie przekątnej jego twarzy. Wstawiamy do wzoru i otrzymujemy d = √8 √2 = √16 = 4. Odpowiedź: przekątna ściany sześcianu wynosi 4 cm.

Jeśli ukośna powierzchnia sześcianu jest znana

Ze względu na stan problemu otrzymujemy jedynie przekątną powierzchni regularnego wielościanu, który wynosi, powiedzmy, √2 cm, i musimy znaleźć przekątną sześcianu. Formuła rozwiązania tego problemu jest nieco bardziej skomplikowana niż poprzednia. Jeśli wiemy d, to możemy znaleźć krawędź sześcianu, w oparciu o naszą drugą formułę d = a√2. Otrzymujemy a = d / √2 = √2 / √2 = 1 cm (to jest nasza przewaga). A jeśli ta ilość jest znana, łatwo jest znaleźć przekątną sześcianu: D = 1√3 = √3. W ten sposób rozwiązaliśmy nasz problem.

Jeśli powierzchnia jest znana

Poniższy algorytm rozwiązania opiera się na znalezieniu przekątnej przez założenie, że jest równy 72 cm 2. Na początek znajdziemy obszar jednej twarzy, a jest ich sześć, więc 72 należy podzielić przez 6, otrzymujemy 12 cm 2. To jest obszar jednego aspektu. Aby znaleźć krawędź zwykłego wielościanu, konieczne jest przywołanie wzoru S = a 2, co oznacza a = √S. Zastąp i otrzymamy = =12 (krawędź kostki). A jeśli znamy tę wartość, to przekątna nie jest trudna do znalezienia D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6. Odpowiedź: przekątna sześcianu wynosi 6 cm 2.

Jeśli znana jest długość krawędzi sześcianu

Są przypadki, gdy problem dotyczy tylko długości wszystkich krawędzi kostki. Następnie należy podzielić tę wartość przez 12. Jest to liczba boków w prawidłowym wielościanie. Na przykład, jeśli suma wszystkich krawędzi wynosi 40, to jedna strona będzie równa 40/12 = 3,333. Wstawiamy do naszej pierwszej formuły i otrzymujemy odpowiedź!

W której musisz znaleźć krawędź kostki. Jest to definicja długości krawędzi sześcianu przez powierzchnię ściany sześcianu, objętość sześcianu, przekątną powierzchni sześcianu i przekątną sześcianu. Rozważ wszystkie cztery opcje dla takich zadań. (Pozostałe zadania, z reguły, są odmianami powyższego lub zadaniami w trygonometrii, które są bardzo pośrednio związane z rozważaną kwestią)

Jeśli znasz obszar powierzchni sześcianu, znajdź krawędź sześcianu jest bardzo prosta. Ponieważ powierzchnia sześcianu jest kwadratem o boku równym krawędzi sześcianu, jego powierzchnia jest równa kwadratowi krawędzi sześcianu. Dlatego długość krawędzi sześcianu jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z powierzchni jego powierzchni, czyli:

i - długość krawędzi sześcianu,

S to obszar powierzchni sześcianu.

Znalezienie twarzy sześcianu w jego objętości jest jeszcze łatwiejsze. Biorąc pod uwagę, że objętość sześcianu jest równa sześcianowi (trzeciego stopnia) długości krawędzi sześcianu, otrzymujemy, że długość krawędzi sześcianu jest równa pierwiastkowi sześciennego (trzeciego stopnia) jego objętości, tj .:

i - długość krawędzi sześcianu,

V to objętość sześcianu.

Znalezienie długości krawędzi sześcianu wzdłuż znanych długości przekątnych jest nieco trudniejsze. Oznacz jako:

oraz - długość krawędzi sześcianu;

b - długość przekątnej powierzchni sześcianu;

c - długość przekątnej sześcianu.

Jak widać na rysunku, przekątna twarzy i krawędzie sześcianu tworzą prostokątny trójkąt równoboczny. Dlatego twierdzenie Pitagorasa:

Stąd znajdziemy:

(aby znaleźć krawędź kostki, którą musisz wyodrębnić pierwiastek kwadratowy od połowy kwadratu przekątnej).

Aby znaleźć krawędź sześcianu wzdłuż jego przekątnej, ponownie używamy wzoru. Przekątna sześcianu (c), przekątna powierzchni (b) i krawędź sześcianu (a) tworzą trójkąt prawy. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

Używamy powyższej relacji między a i b oraz substytutem we wzorze

b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. Dostajemy:

a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, skąd znajdziemy:

3 * a ^ 2 = c ^ 2, dlatego:

Kostka jest prostokątnym równoległościanem, którego wszystkie krawędzie są równe. Dlatego uproszczono ogólny wzór na objętość prostokątnego równoległościanu i wzór na jego pole powierzchni w przypadku sześcianu . Można również znaleźć objętość sześcianu i jego pole powierzchni , znając objętość wpisanej w niego kuli lub kulę opisaną wokół niej.

Będziesz potrzebować

• długość boku sześcianu, promień wpisanej i opisanej kuli

Instrukcja

Objętość prostopadłościanu prostokątnego wynosi: V = abc - gdzie a, b, c są jego wymiarami. Dlatego objętość sześcianu jest równa V = a * a * a = a ^ 3, gdzie a jest długością boku sześcianu Powierzchnia pola sześcianu jest równa sumie obszarów wszystkich jego powierzchni. Sześcian ma sześć ścian, więc jego powierzchnia wynosi S = 6 * (a ^ 2).

Niech piłka wpasuje się w sześcian. Oczywiście średnica tej piłki będzie równa stronie sześcianu . Zastępując długość średnicy wyrażeniami dla objętości zamiast długości krawędzi sześcianu i używając, że średnica jest równa dwukrotności promienia, otrzymujemy wtedy V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), gdzie d jest średnicą okręgu wpisanego r jest promieniem okręgu wpisanego, a powierzchnia sześcianu będzie wynosić S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).

Niech piłka zostanie opisana wokół sześcianu . Wtedy jego średnica zbiegnie się z przekątną sześcianu . Przekątna sześcianu przechodzi przez środek sześcianu i łączy jego dwa przeciwne punkty.
Rozważ najpierw jedną z twarzy sześcianu . Krawędzie tego aspektu są nogami trójkąta prostokątnego, w którym przekątna twarzy d będzie przeciwprostokątną. Następnie za pomocą twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

Następnie rozważ trójkąt, w którym przeciwprostokątna jest przekątną sześcianu , a przekątna powierzchni d i jedna z krawędzi sześcianu a to jego nogi. Podobnie, dzięki twierdzeniu Pitagorasa otrzymujemy: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
Tak więc, zgodnie z pochodną formułą, przekątna sześcianu to D = a * sqrt (3). Stąd, a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Dlatego V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), gdzie R jest promieniem opisanej piłki Powierzchnia pola sześcianu wynosi S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).

Często zdarzają się zadania, w których trzeba znaleźć krawędź sześcianu, często należy to zrobić na podstawie informacji o jego objętości, powierzchni aspektu lub przekątnej. Istnieje kilka opcji definiowania krawędzi kostki.

W takim przypadku, jeśli obszar sześcianu jest znany, można łatwo określić krawędź. Powierzchnia sześcianu jest kwadratem o boku równym krawędzi sześcianu. Odpowiednio, jego powierzchnia jest równa kwadratowej krawędzi sześcianu. Powinieneś użyć formuły: a = √S, gdzie a jest długością krawędzi sześcianu, a S jest obszarem powierzchni sześcianu. Znalezienie krawędzi sześcianu według jego objętości jest jeszcze prostszym zadaniem. Należy wziąć pod uwagę, że objętość kostki równa się sześcian (w trzecim stopniu) długość krawędzi sześcianu. Okazuje się, że długość krawędzi jest równa pierwiastkowi sześcianu jego objętości. Oznacza to, że otrzymujemy następujący wzór: a = √V, gdzie a jest długością krawędzi sześcianu, a V jest objętością sześcianu.

Po przekątnej można również znaleźć krawędź sześcianu. W związku z tym potrzebujemy: a - długości krawędzi sześcianu, b - długości przekątnej powierzchni sześcianu, c - długości przekątnej sześcianu. Przez twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, stąd można łatwo wyprowadzić następujący wzór: a = √ (b ^ 2/2), który wyodrębnia krawędź sześcianu.

Ponownie, używając twierdzenia Pitagorasa (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), możemy uzyskać następującą zależność: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, z której wywodzimy: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, dlatego krawędź sześcianu można uzyskać w następujący sposób: a = √ (c ^ 2/3).